푸는데 무조건 하루 이상 걸리는 고난이도 수학문제

문제: 대수적 수의 집합

정수 N에 대해 다음과 같은 두 가지 조건을 만족하는 대수적 수의 집합 A를 정의.

1. A는 N차 대수적 수로 이루어진 집합이다. 즉, A의 모든 원소는 유리 계수를 가진 N차 다항식의 해이다.

2. 집합 A의 모든 원소 x에 대해, x의 제곱근인 √x는 집합 A의 원소이다.

문제 요구사항:

1. 주어진 정수 N에 대해 집합 A의 모든 원소를 찾고, 이 원소가 유리수인지 여부를 결정하시오.

2. 집합 A의 원소를 포함하는 최소 다항식을 찾아내고, 이 다항식의 계수들을 구하시오.

3. 집합 A가 유한한지 아니면 무한한지 증명하시오.

조건: N은 3 이상의 정수이다.

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( 글에 대한 정답과 해설 - https://shindong27.tistory.com/m/37 )

원하시는 분은 스크롤하셔서 접근 방법 보셔도 됩니다.

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추가적으로 문제를 풀기 위한 접근 방법:

1. 집합 A의 원소 찾기: N차 다항식의 해를 찾아야 하며, 이 다항식의 해가 유리수인지 판별해야 합니다.

2. 최소 다항식 찾기: 집합 A를 생성하는 다항식을 구성하고, 그 계수를 정리해야 합니다.

3. 유한성과 무한성 증명: N의 값에 따라 집합 A의 원소의 성질을 분석하고 증명할 방법을 고려해야 합니다.