이전 글에 대한 정답과 해설

문제 해석

집합 A는 다음 두 가지 조건을 만족해야 합니다:

1. A의 모든 원소는 차수가 N인 정수 계수 다항식의 해이다.

2. A의 모든 원소는 자신과 그 제곱근도 집합 A에 포함된다.

풀이

1. 집합 A의 원소 찾기

다항식의 해를 구하기 위해, A의 모든 원소가 자기 자신의 제곱근도 포함해야 한다는 조건을 활용합니다.

• 만약 N이 3이라면, 다항식의 형태는 세 개의 근을 가집니다.
• 제곱근 조건 때문에, 원소는 다음 규칙을 따릅니다:
• 제곱근을 취해도 같은 다항식의 해여야 하므로, 원소는 간단한 정수 값으로 제한됩니다.
• 예를 들어, 정수 1, 0, -1 같은 값이 원소가 될 가능성이 큽니다.
• 따라서 N이 3일 때, 집합 A는 유한한 크기를 가지며, 원소는 특정 정수 값만 포함합니다.

2. 최소 다항식 찾기

집합 A의 원소를 포함하는 다항식은, 위에서 찾은 정수 원소를 근으로 가지는 최소 차수의 다항식이 됩니다. 예를 들어:

• 만약 원소가 1, -1이라면, 다항식은 모든 근을 포함하기 위해  (즉, “정수의 곱” 형태)로 표현됩니다.

3. 유한성 또는 무한성 증명

N이 증가하면, 다항식의 근은 점점 복잡해지며 실수나 무리수도 포함될 수 있습니다.
그러나 “제곱근도 포함해야 한다”는 조건은 이를 강하게 제한하므로, 집합 A는 유한할 가능성이 높습니다.
이 점을 증명하기 위해선 각 경우의 수를 계산해야 합니다.

정답

집합 A는 유한하며, 모든 원소는 자기 자신과 제곱근 관계를 만족하는 정수 값입니다.
예를 들어:

• N이 3일 때, A는 {1, -1, 0}을 포함할 수 있습니다.

• N이 커질수록 더 많은 원소를 가질 가능성이 있으나, 여전히 유한합니다.